Рассмотрим, далее, вопрос о пределе отношения двух функций многочленов src="http://edu.sernam.ru/img_page/1.gif"> стремящихся к бесконечности при при

Теорема. Пусть функции непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки а, причем производная не обращается в нуль; пусть, далее,

и пусть существует предел

Тогда существует предел и

Доказательство. В рассматриваемой окрестности точки а возьмем две точки а и так, чтобы было По теореме Коши будем иметь

где а < с < х. Левую часть равенства (3) преобразуем так:

Из соотношений (3) и (4) получаем

Отсюда находим

Из условия (1) следует, что при произвольно малом ыожно а выбрать настолько близким к а, что для всех , где

будет выполняться неравенство

или

Далее рассмотрим дробь

Закрепив так, чтобы обеспечивалось выполнение неравенства (6), будем приближать к . Так как при то

и, следовательно, при ранее выбранном для достаточно близких к а, будем иметь

или

Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим

или на основании равенства (5)

Так как — произвольно малое число при достаточно близкого к а, то из последних неравенств следует, что

или на основании (1)

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если в условии т. е.

то равенство (2) остается справедливым и в этом случае. Действительно, из предыдущего выражения следует

Тогда по доказанной теореме

откуда

Замечание 2. Доказанная теорема легко распространяется на случай, когда . Если и существует, то

Доказательство проводится путем замены как это делалось при аналогичных условиях в случае неопределенности вида замечание 4).

Пример 1. .

Замечание 3. Отметим еще раз, что формулы (2) и (8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти

Этот иредел существует и равен 1. Действительно,

Но отношение производных

при не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2.

Пример

Пример 3.

Пример Вообще, при любом целом

К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределенностей, которые символически записывают так:

и смысл которых состоит в следующем.

а) Пусть требуется найти . Это — неопределенность типа

Если искомое выражение переписать в виде

или в виде

то при мы получим неопределенность вида или вида

Пример

б) Пусть требуется найти или, как говорят, раскрыть неопределенность вида ,

Положив прологарифмируем обе части полученного равенства: При а получим (справа) неопределенность вида Найдя , легко получить .

Действительно, в силу непрерывности логарифмической функции, , и если , то, очевидно, . Если, в частности, или то, соответственно, или 0.

Пример 6. Требуется найти Положив находим;

следовательно откуда

Аналогичным приемом находятся пределы и в других случаях.


Источник: http://edu.sernam.ru/book_p_math1.php?id=58


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Предел и непрерывность функции одного аргумента Газожидкостный пилинг для лица что это такое

Пределы отношения многочленов Предел отношения двух многочленов. Вторая часть
Пределы отношения многочленов 5. Предел отношения двух бесконечно больших
Пределы отношения многочленов Лекции - Предел функции и непрерывность - c
Пределы отношения многочленов Как находить пределы? - Ответ ЗДЕСЬ!
Пределы отношения многочленов Пределы с корнями, примеры решений
Пределы отношения многочленов Пределы - m


ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ